Progresiòn geometrica

Algebra

Tema: Progresión geométrica

Contenido:

Ø  Definiciòn de progresión geométrica

Ø  Suma de tèrminos

Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión.

Ejemplo:

Así, 5,15,45,135,405,… es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:

15 = 5 × 3

45 = 15 × 3

135 = 45 × 3

Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

 a_n=a₁r^(n-1)

Siendo   a_n el término en cuestión, a₁ el primer término y r la razón:

a_n=a₁^r(n-1)

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión

a₆=5(^3(6-1))

a₆= 5(3⁵)

a₆= 5(243)

a₆= 1215

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica

Se denomina como S_n a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n-1 + a_n

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

S_nr=(a₁+a₂+…+a_n-1+a_n)r→S_nr=a₁r+a₂r+…+a_n-1+a_nr

Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,

S_nr=a₂₊a_3+…+a_n+a_nr

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

S_n r =a₂+a₃+ ... + a_n-1 + a_n + a_n r

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n-1 + a_n

_______________________________

S_n r - S_n = - a₁ + a_n r

O lo que es lo mismo,

S_n ( r - 1 ) = a_n r - a₁

Si se despeja S_n,

S_n= a_nr - a₁

             _r-1

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión a_n como

a_n=a₁r^(n-1)

Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente:

S_n =a₁r^(n-1)r - a_{1 =} a₁rⁿ - a_{1 =} a_1(rⁿ  _{- 1)}

          r-1             r-1            r-1

Con lo que se obtiene la siguiente igualdad:

S_{n =} a₁ rⁿ - 1

   r- 1

Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.

Fuente:http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9trica