Algebra
Tema: Progresión geométrica
Contenido:
Ø Definiciòn de progresión geométrica
Ø Suma de tèrminos
Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de
elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por
una constante denominada razón o factor de la progresión.
Ejemplo:
Así, 5,15,45,135,405,… es una progresión geométrica con
razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
Aunque es
más fácil aplicando la fórmula:
an=a1r(n-1)
Siendo an el término en cuestión, a1 el primer término y r la razón:
an=a1r(n-1)
Así
quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión
a6=5(3(6-1))
a6=
5(35)
a6=
5(243)
a6=
1215
Suma
de los primeros n términos de una progresión geométrica
Se denomina como Sn
a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:
Sn = a1 + a2 + ... + an-1
+ an
Si se
quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se
multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.
Snr=(a1+a2+…+an-1+an)r→Snr=a1r+a2r+…+an-1+anr
Si se
tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por
la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,
Snr=a2+a3+…+an+anr
Si se
procede a restar de esta igualdad la primera:
Sn r =a2+a3+
... + an-1 + an + an r
Sn = a1 + a2
+ ... + an-1 + an
_______________________________
Sn r - Sn =
- a1 + an r
O lo que
es lo mismo,
Sn ( r -
1 ) = an r - a1
Si se
despeja Sn,
Sn= anr - a1
r-1
De esta
manera se obtiene la suma de los n términos
de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último
término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el
término general de la progresión an como
an=a1r(n-1)
Así, al
sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente:
Sn =a1r(n-1)r - a1 = a1rn
- a1 = a1(rn - 1)
r-1 r-1 r-1
Con lo
que se obtiene la siguiente igualdad:
Sn = a1 rn - 1
r- 1
Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos
consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a
sumar y la razón de la progresión.
Fuente:http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9trica
